難點3：運用向量法解題

平面向量是新教材改革增加的內容之一，近幾年的全國使用新教材的高考試題逐漸加大了對這部分內容的考查力度，本節內容主要是幫助考生運用向量法來分析，解決一些相關問題.

●難點磁場

(★★★★★)三角形ABC中，A(5，-1)、B(-1，7)、C(1，2)，求：(1)BC邊上的中線

AM的長;(2)∠CAB的平分線AD的長;(3)cosABC的值.

●案例探究

[例1]如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.

2017年成人高考高起點文數考試章節難點解析（3）chengkao1.png

(1)求證：C1C⊥BD.

(2)當的值為多少時，能使A1C⊥平面C1BD?請給出證明.

命題意圖：本題主要考查考生應用向量法解決向量垂直，夾角等問題以及對立體幾何圖形的解讀能力.

知識依托：解答本題的閃光點是以向量來論證立體幾何中的垂直問題，這就使幾何問題代數化，使繁瑣的論證變得簡單.

錯解分析：本題難點是考生理不清題目中的線面位置關系和數量關系的相互轉化，再就是要清楚已知條件中提供的角與向量夾角的區別與聯系.

技巧與方法：利用a⊥ba·b=0來證明兩直線垂直，只要證明兩直線對應的向量的數量積為零即可.

(1)證明：設=a,=b,=c,依題意，|a|=|b|，、、中兩兩所成夾角為θ，于是=a-b，=c(a-b)=c·a-c·b=|c|·|a|cosθ-|c|·|b|cosθ=0,∴C1C⊥BD.

(2)解：若使A1C⊥平面C1BD，只須證A1C⊥BD，A1C⊥DC1，

由=(a+b+c)·(a-c)=|a|2+a·b-b·c-|c|2=|a|2-|c|2+|b|·|a|cosθ-|b|·|c|·cosθ=0,得

當|a|=|c|時，A1C⊥DC1，同理可證當|a|=|c|時，A1C⊥BD，

∴=1時，A1C⊥平面C1BD.

[例2]如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點.

(1)求的長;

(2)求cos<>的值;

(3)求證：A1B⊥C1M.

2017年成人高考高起點文數考試章節難點解析（3）chengkao2.png

命題意圖：本題主要考查考生運用向量法中的坐標運算的方法來解決立體幾何問題.屬

★★★★級題目.

知識依托：解答本題的閃光點是建立恰當的空間直角坐標系O-xyz,進而找到點的坐標和求出向量的坐標.

錯解分析：本題的難點是建系后，考生不能正確找到點的坐標.

技巧與方法：可以先找到底面坐標面xOy內的A、B、C點坐標，然后利用向量的模及方向來找出其他的點的坐標.

(1)解：如圖，以C為原點建立空間直角坐標系O-xyz.

依題意得：B(0，1，0)，N(1，0，1)

∴||=.

(2)解：依題意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2).

∴==(0，1，2)

=1×0+(-1)×1+2×2=3

||=(3)證明：依題意得：C1(0，0，2)，M()

∴∴A1B⊥C1M.

●錦囊妙計

1.解決關于向量問題時，一要善于運用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進行向量的各種運算，加深對向量的本質的認識.二是向量的坐標運算體現了數與形互相轉化和密切結合的思想.

2.向量的數量積常用于有關向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問題中.常用向量的直角坐標運算來證明向量的垂直和平行問題;利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點間距離的問題.

3.用空間向量解決立體幾何問題一般可按以下過程進行思考：

(1)要解決的問題可用什么向量知識來解決?需要用到哪些向量?

(2)所需要的向量是否已知?若未知，是否可用已知條件轉化成的向量直接表示?

(3)所需要的向量若不能直接用已知條件轉化成的向量表示，則它們分別最易用哪個未知向量表示?這些未知向量與由已知條件轉化的向量有何關系?

(4)怎樣對已經表示出來的所需向量進行運算，才能得到需要的結論?