不定積分

一、不定積分

1、原函數

二、換元積分法

1、第一換元法（湊微分法）

（1）直接湊

要求不定積分，首先考慮能否用公式，即能否直接用公式，基本公式中沒有相同的，就找相近的公式如果有相近的，就用直接湊。

特點：能在積分基本公式中找到相近的積分公式

【注】 積分公式的特點是三個一致，即被積函數、積分變量和積分結果中都是x，是一致的，而所求積分中被積函數和積分變量往往是不一致的，所以做題時要湊成一致的。

（2）間接湊

間接湊就是不定積分本身在積分公式中找不上相同或相近的，但是通過湊微分，變形，可以湊成形式上和公式相同的，從而利用性質和公式來解決問題的方法。其本質就是先湊微分，再湊公式。

特點：被積函數中含有導數關系。

2、第二類換元法（目的是為了去掉被積函數中的根號）

（1）根式換元

特點：被積函數中含一般根式，直接換元，根號是誰就換誰

三、分部積分法

分布積分法主要用來求解函數乘積的不定積分，當被積函數是兩個函數的乘積，而又沒有導數關系時，考慮分部積分法。

1、分部積分法原則

【注】 （1）有時用一次分部積分不能得到最后結果，需要用多次。

（2）有時通過兩次分部積分后產生循環式, 從而解出所求積分.

（3）有時被積函數只是一個函數，也可以用分部積分。

定積分

一、定積分的概念——（本質是和式的極限）

二、積分上限函數的導數

變上限積分主要考查它的求導性質，考試時遇到變上限積分的問題都要進行求導，主要的考查題型是：直接給一個變限積分，進行求導；定積分求導；含有變限積分的極限問題。

四、第一換元法（湊微分法）（積分上下限可保持不變）

定積分的第一換元法和不定積分的第一換元法沒有太大的區別，只要按照步驟仔細計算即可。

（1）直接湊（能在積分基本公式中找到相近的積分公式）

（2）間接湊（先湊微分，再湊公式）（被積函數中含有導數關系）

五、第二類換元法（目的是為了去掉被積函數中的根號）（注意積分上下限的變化）

（1）根式換元

特點：被積函數中含一般根式，直接換元，根號是誰就換誰

【注】（1）由于換元中積分變量發生了變化，所以其對應的積分上下限也會發生變化，定積分的第二換元法需要注意積分上下限的變化；

（2）定積分的計算不需要回代。

六、定積分的分部積分法